MathsTS90/math/01_suites.tex

% chapitre: "Suites numériques"
% symbole: "(u_n)"
% bg: 0x83b9

% categorie: "Cours"

% page: "Suites arithmétiques"

Une suite arithmétique est une suite vérifiant :

\[ u_{n+1} = u_n + r. \]

Elle est définie par son premier terme $u_p$ et le réel r qui est appelé "raison".

\[ u_n = u_p + (n - p) × r \]

La somme $(S_n)$ de $(u_n)$ est :

\[ S_n = (n-p+1) \frac{u_n + u_p}{2}. \]

% page: "Suites géométriques"

Une suite géométrique est de la forme :

\[ v_{n+1} = v_n × q. \]

q s'appelle la raison. Quand le premier terme est $v_p$, la suite est

\[ v_n = v_p × q^{n-p}. \]

La somme $(S_n)$ de $(v_n)$ est :

\[ S_n = v_p × \frac{1 - q^{n-p+1}}{1-q}. \]

% page: "Suites monotones"

La suite $(u_n)$ est monotone (respectivement strictement) si elle est croissante ou décroissante (respectivement strictement).

Étude des variations de $(u_n)$ par le calcul de $u_{n+1} - u_n$:

- $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n ≥ 0$ ;

- $(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} - u_n ≤ 0$.

Quand $u_n > 0$, on peut aussi étudier $u_{n+1} / u_n$.

- $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} / u_n ≥ 1$ ;

- $(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} / u_n ≤ 1$.

Si $(u_n)$ est de la forme $u_n = f(n)$, il faut étudier les variations de f.

Si $u_{n+1} = f(u_n)$, il faut faire un raisonnement par récurrence.

% page: "Majorée, minorée, bornée"

$(u_n)$ est majorée s'il existe M tel que pour tout n, $u_n ≤ M$.

Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

$(u_n)$ est minorée s'il existe m tel que pour tout n, $u_n ≥ M$.

Toute suite croissante est minorée par son premier terme.

$(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, donc s'il existe m et M tels que pour tout n, $m ≤ u_n ≤ M$.

% page: "Limites de suites"

$(u_n)$ admet un réel l comme limite si tout intervalle ]a,b[ qui contient l contient aussi la suite à partir d'un rang $n_0$, c'est-à-dire si $a < u_n < b$ pour $n ≥ n_0$.

$(u_n)$ tend vers +∞ si pour tout A, l'intervalle ]A,+∞[ contient la suite à partir d'un rang $n_0$, c'est-à-dire si $A < u_n$ pour $n ≥ n_0$.

$(u_n)$ tend vers -∞ si pour tout A, l'intervalle ]-∞,A[ contient la suite à partir d'un rang $n_0$, c'est-à-dire si $u_n < A$ pour $n ≥ n_0$.

% page: "Convergence"

$(u_n)$ est convergente si elle amet une limite réelle. Elle divergente si elle tend vers +∞ ou vers -∞. (Sinon elle n'est rien.)

Lorsque $(u_n)$ est croissante :

- Si elle est majorée, elle est convergente ;

- Sinon, elle tend vers +∞.

Lorsque $(u_n)$ est divergente :

- Si elle est minorée, elle est convergente ;

- Sinon, elle tend vers -∞.

Si $(u_n)$ est croissante et tend vers l, alors elle est majorée par l.

Si $(u_n)$ est décroissante et tend vers l, alors est elle minorée par l.

% page: "Théorème des gendarmes"

Si pour tout $n ≥ p$ on a

\[ u_n ≤ v_n ≤ w_n \]

et $u_n$ et $w_n$ convergent vers un réel l, alors $v_n$ converge aussi vers l.

% page: "Théorème de comparaison"

Si pour tout $n ≥ p$ on a

\[ u_n ≥ w_n \]

et $w_n$ tend vers +∞, alors $u_n$ tend aussi vers +∞.

Si pour tout $n ≥ p$ on a

\[ u_n ≤ w_n \]

et $w_n$ tend vers -∞, alors $u_n$ tend aussi vers -∞.

% page: "Raisonnement par récurrence"

Forme d'un raisonnement par récurrence. On appelle P(n) la propriété à démontrer.

- Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie.

- Hérédité : montrer que si P(n) est vraie (pour un certain $n ≥ n_0$) alors P(n+1) est vraie aussi.

- Conclusion : conclure en affirmant que P(n) est vraie pour tout $n ≥ n_0$.

% categorie: "Questions"

% page: "Calculer les premiers termes"

Pour calculer les premiers termes d'une suite, il faut se référer à l'expression de la suite et partir de son premier terme.

Exemple : $u_{n+1} = u_n+2n+2$ et $u_0=0$ ; calculer $u_1$ et $u_2$.

- $u_1 = u_0 + 2*0 + 2 = 2$

- $u_2 = u_1 + 2*1 + 2 = 6$

% page: "Preuve suite arithmétique"

Pour prouver qu'une suite est arithmétique, il faut calculer $u_{n+1} - u_n$ et montrer que c'est une constante.

Exemple : $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_1 = 5$.

→ $u_{n+1} - u_n = u_n + 3 - u_n = 3$.

Donc $(u_n)$ est une suite arithmétique et sa raison est 3.

On peut ensuite exprimer $u_n$ en fonction de n et du premier terme en appliquant la formule :

\[ u_n = u_p + (n - p) × r. \]

Suite de l'exemple :

→ $u_n = u_1 + (n - 1) × 3 = 3n + 2$.

% page: "Prouver suite géométrique"

Pour prouver qu'une suite $(v_n)$ est géométrique, il faut calculer $v_{n+1} / v_n$ et montrer que c'est une constante.

Exemple : $v_{n+1} = 7 × v_n$ et $v_1 = 2$.

→ $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{7 × v_n}{v_n} = 3$.

Donc $(v_n)$ est une suite géométrique et sa raison est 7.

On peut ensuite exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et du premier terme avec la formule :

\[ v_n = v_p × q^{n-p}. \]

Suite de l'exemple :

→ $v_n = v_1 × 7^{n-1} = \frac{2}{7} × 7^n$.

% page: "Étudier les variations"

S'il faut conjecturer sur les variations de la suite $(u_n)$, il faut comparer les premiers termes de la suite et émettre une hypothèse.

Exemple : $u_0=1, u_1=4, u_2=9$ : on conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante.

Pour trouver le sens de variations, utiliser les techniques de la partie "Suites monotones".

Exemple : $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$.

→ $u_{n+1} - u_n = 2n + 3 ≥ 0$.

Donc $(u_n)$ est croissante.

% page: "Étudier la convergence"

S'il faut conjecturer sur la convergence de la suite $(u_n)$, il faut analyser les premiers termes de la suite et émettre une hypothèse.

Exemple : $u_0=2.994, u_1=2.996, u_2=2.997$ : on conjecture que la suite $(u_n)$ converge vers 3.

Pour calculer la limite :

1. Tester si la suite est croissante non majorée (auquel cas c'est +∞) ou décroissante non minorée (auquel cas c'est -∞).

2. Tester si le théorème de comparaison ou des gendarmes peut être utilisé.

3. Calculer et utiliser l'expression de la suite en fonction de $n$.

Exemple : $u_n = 4 + \frac{3}{n}$.

Option 3 : $\lim_{n→+∞} \frac{3}{n} = 0$ donc $\lim_{n→+∞} u_n = 4$.